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高一数学集合知识点归纳

高一数学集合间的基本关系的知识点

集合是高一数学的学习内容,将集合的知识点归纳也是学习集合的一种方法,下面是我给大家带来的有关于高一集合的基本关系的知识点的具体介绍,希望能够帮助到大家。

高一数学集合间的基本关系的知识点介绍

1.1.2集合间的基本关系

1.Venn图

在数学中,用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.

中国的直辖市组成的集合为A,用Venn图表示如图所示.

【例1】试用Venn图表示集合A={x|x2-16=0}.

解:集合A是方程x2-16=0的解集,解方程x2-16=0,得x1=4,x2=-4,所以A={-4,4},用Venn图表示如图所示.

对Venn图的理解Venn图表示集合直观、明确,封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等,没有限制.

2.子集

定义一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集.记法

与读法记作AB(或BA),读作“A含于B”(或“B包含A”).图示或示例具有北京市东城区户口的人组成集合M,具有北京市户口的人组成集合P,由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京市户口,所以有MP.结论(1)任何一个集合是它本身的子集,即AA.

(2)对于集合A,B,C,若AB,且BC,则AC.对子集的理解(1)“AB”的含义:若xA就能推出xB.

(2)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的,因为集合A可能是空集,也可能是集合B.

(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么集合A不包含于B,或B不包含A.此时记作AB或BA.

(4)注意符号“”与“”的区别:“”只用于集合与集合之间,如{0}N,而不能写成{0}N;“”只能用于元素与集合之间,如0N,而不能写成0N.

【例2-1】已知集合M={0,1},集合N={0,2,1-m},若MN,则实数m=__________.

解析:由题意知MN,又集合M={0,1},因此1N,即1-m=1.故m=0.

答案:0

【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3},N={x|x=|y|,yM},试判断集合M,N的关系.

解:∵xZ,且-1≤x<3,

∴x的可能取值为-1,0,1,2.

∴M={-1,0,1,2}.

又∵yM,

∴|y|分别是0,1,2.

∴N={0,1,2}.

∴NM.

3.集合相等

如果集合A是集合B的子集(AB),且集合B是集合A的子集(BA),那么集合A与集合B相等,记作A=B.用Venn图表示如图所示.

对集合相等的理解(1)A=BAB,且BA,这是证明两个集合相等的重要依据;

(2)集合相等还可以用元素的观点来定义:只要构成两个集合的元素是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集合相等;

(3)同一个集合,可以有不同的表示方法,这也是定义两个集合相等的意义所在;

(4)集合中的关系与实数中的结论类比

实数集合 a≤b包含两层含义:a=b,或a

A.P={1,4,7},Q={1,4,6}

B.P={x|2x+2=0},Q={-1}

C.3P,3Q

D.PQ

解析:对于A项,7P,而7Q,故P≠Q;对于B项,P={x|2x+2=0}={-1}=Q;对于C项,由3P,3Q,不能确定PQ,QP是否同时成立;对于D项,仅由PQ无法确定P与Q是否相等.

答案:B

【例3-2】设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.

解:由集合相等的定义,得或

(1)由得x=0,y=0,不满足集合中元素的互异性,故舍去;

(2)由得x=0,y=0或x=1,y=0,由(1)知x=0,y=0应舍去,x=1,y=0符合集合中元素的互异性.

综上,可得x=1,y=0.

4.真子集

定义如果集合AB,但存在元素xB,且xA,我们称集合A是集合B的真子集.记法记作AB(或BA).图示结论(1)AB且BC,则AC;

(2)AB且A≠B,则AB.对真子集的理解(1)若集合A是集合B的子集,则集合A中所有元素都属于集合B,并且集合B中至少有一个元素不属于集合A;

(2)子集包括集合相等与真子集两种情况,真子集是以子集为前提的.若集合A不是集合B的子集,则集合A一定不是集合B的真子集;

(3)与任何集合是它自身的子集不同,任何集合都不是它自身的真子集.

【例4】已知集合P={2 012,2 013},Q={2 011,2 012,2 013,2 014},则有()

A.P=Q B.QP

C.PQ D.QP

解析:很明显,集合P中的元素都属于集合Q,则PQ,但是2 014Q,2 014P,所以PQ.

答案:C

5.空集

定义我们把不含任何元素的集合,叫做空集.记法规定空集是任何集合的子集,即A特性(1)空集只有一个子集,即它本身,

(2)是任何非空集合的真子集,即若A≠,则A{0}与的区别

{0}与

的区别{0}是含有一个元素的集合是不含任何元素的集合,因此{0},注意不能写成={0},{0}【例5-1】下列集合为空集的是()

A.{0} B.{1}

C.{x|x<0} D.{x|1+x2=0}

解析:很明显{0}和{1}都不是空集;因为{x|x<0}是全体负数组成的集合,所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程1+x2=0的解集,但是方程1+x2=0无实数解,所以{x|1+x2=0}=.

答案:D

【例5-2】有下列命题:①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A,则A≠.其中正确的有()

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

解析:对于①,空集是任何集合的子集,故,①错;对于②,只有一个子集,是其自身,②错;对于③,空集不是空集的真子集,③错;空集是任何非空集合的真子集,④正确.

答案:B

6.集合间的关系判断

(1)集合A,B间的关系

(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的,也就是把抽象的集合具体化,这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合.

(3)判断集合间的关系,其方法主要有三种:

①一一列举观察;

②集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.

一般地,设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p(x)推出q(x),则AB;若q(x)推出p(x),则BA;若p(x),q(x)互相推出,则A=B;若p(x)推不出q(x),q(x)也推不出p(x),则集合A,B无包含关系.

③数形结合法:利用数轴或Venn图.

(4)当MN和MN均成立时,MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系.当MN和M=N均成立时,M=N比MN更准确地反映了集合M和N的关系.

集合M={1},集合N={1,2},这时MN和MN均成立,MN比MN更准确地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的关系.又集合M={3},集合N={3},这时MN,NM,M=N均成立,M=N比MN更准确地反映了集合M={3}和集合N={3}的关系.【例6-1】指出下列各对集合之间的关系:

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};

(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};

(3)A={x|-1

(4)M={x|x=2n-1,nN*},N={x|x=2n+1,nN*}.

分析:先找到集合中元素的特征,再由特征判断集合之间的关系.

解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.

(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB.

(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知AB.

(4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故NM.

怎样用数轴表示集合对于连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上,若端点值是集合的元素,则用实心点表示;若端点值不是集合的元素,则用空心点表示.

【例6-2】已知集合,,则集合M,N的关系是()

A.MNB.MN

C.NMD.NM

解析:设n=2m或2m+1,mZ,

则有

.

又∵,

∴MN.

答案:B

7.求已知集合的子集(或真子集)

(1)在写出某个集合的子集时,可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出,要做到不重不漏.一定要考虑这一特殊的集合,因为是任何集合的子集;若是要求写出某个集合的真子集,则不能将集合自身计算在内,因为任何一个集合都是它自身的子集,但不是它自身的真子集.

例如:写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我们可以按照元素个数从少到多依次写出,其中元素个数分别为0,1,2,3.可以得到集合{1,2,3}的所有子集为,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3};所有真子集为,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}.

(2)当集合A中含有n个元素时,其子集的个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.

【例7-1】已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5},请写出集合M.

分析:根据题目给出的条件可知,集合M中至少含有元素1,2,至多含有元素1,2,3,4,5,且M中必须含有元素1,2,故可按M中所含元素的个数分类写出集合M.

解:(1)当M中含有两个元素时,M为{1,2};

(2)当M中含有三个元素时,M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};

(3)当M中含有四个元素时,M为{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};

(4)当M中含有五个元素时,M为{1,2,3,4,5}.

因此满足条件的集合M为:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合;

(2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出;

(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合自身,看它们是否能取到.

【例7-2】设集合A={a,b,c},B={T|TA},求集合B.

解:∵A={a,b,c},又TA,

∴T可能为,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.

∴B={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.

【例7-3】已知集合A={1,3,5},求集合A的所有子集的元素之和.

解:集合A的子集分别是:,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.注意到A中的每个元素分别出现在A的4个子集中,即在其和中出现4次.故所求之和为(1+3+5)×4=36.

集合所有子集的元素之和的计算公式若集合A={a1,a2,a3,…,an},则A的所有子集的元素之和为(a1+a2+…+an)·2n-1.

8.集合间的基本关系与方程的综合问题

集合间的基本关系与方程的综合问题,通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系,求方程中未知参数的取值范围.解决此类问题应注意:

(1)要明确表示方程解集的集合中哪个字母是方程中的未知数.集合{x|f(x)=0}表示关于x的方程的解集,x是未知数,其他字母是常数.例如集合{x|mx2-x+23=0}表示关于x的方程mx2-x+23=0的解集,其中x是未知数,m是常数.此方程易错认为是一元二次方程,其原因是忽视了其中的参数m的取值.当m=0时,该方程为-x+23=0,是一元一次方程;当m≠0时,该方程为mx2-x+23=0,此时才是关于x的一元二次方程.

(2)正确理解集合包含关系的含义,特别是AB的含义.当B≠时,对于AB,通常要分A=和A≠两种情况进行讨论,此时,容易忽视A=的情况.

(3)对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题,注意要对二次项系数是否为零进行讨论.【例8-1】若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0}且BA,求m的值.

分析:由于BA,因此集合B的所有元素都是集合A的元素,但由于集合B的元素x满足mx+1=0,又字母m的范围不明确,m是否为0题目没有明示,因此要进行分类讨论.本题应弄清楚两个问题:一是集合B有没有元素;二是集合B有元素时,元素是什么.

解:A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.

因为BA,所以方程mx+1=0的解可以是-3或2或无解.

当mx+1=0的解为-3时,由-3m+1=0得;

当mx+1=0的解为2时,由2m+1=0得;

当mx+1=0无解时,m=0.

综上可知,m的值为或或0.

【例8-2】设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若BA,求实数a的值或取值范围.

解:由题意得A={0,-4},BA.

(1)当A=B时,即B={0,-4}.

由此知,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,

由韦达定理知解得a=1.

(2)当B=时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.

(3)当B为单元素集时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1.

当a=-1时,B={x|x2=0}={0}A,满足条件.

所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.9.集合间的基本关系与不等式的综合问题

用图形来表示数,形象而直观,因此数形结合的思想在数学中广泛应用.数轴是表示实数的,任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示,数轴上任何一点都代表一个实数,在数轴上表示一个不等式的取值范围,形象而直观.

在数轴上表示集合时,要注意端点用实心点还是空心点,若包含端点,则用实心点表示,若不包含端点,则用空心点表示.

集合间的基本关系与不等式的综合问题,通常是已知两个不等式解集的关系,求不等式中参数的值(或取值范围),解决此类问题应注意:

(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数.集合{x|f(x)>0},{x|f(x)<0},{x|f(x)≥0},{x|f(x)≤0}均表示关于x的不等式的解集,x是未知数,其他字母是常数.集合{x|-nx+3<0}表示关于x的不等式-nx+3<0的解集,x是未知数,n是常数.这个方程易错认为是一元一次不等式,其原因是忽视了其中的参数n的取值.当n=0时,该不等式为3<0,不是一元一次不等式;当n≠0时,该不等式才是关于x的一元一次不等式.

(2)用不等号连接的式子称为不等式,例如2<3和3<2都是不等式,有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m+1

分析:集合A中是一个用具体数字表示的不等式,集合B中是一个用字母m表示的不等式,集合A给出的不等式在数轴上表示为-2到5的线段(去掉两个端点),集合B给出的不等式,m+1与2m-1的大小关系有两种情形:当m+1≥2m-1时x,所以BA一定成立;当m+1<2m-1时,可借助于数轴来分析解决.

解:∵BA,A≠,∴B=或B≠.

当B=时,m+1≥2m-1,解得m≤2.

B≠时,如数轴所示.

则有解得

因此2

m的取值范围为m≤2或2

【例9-2】已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若BA,求实数a的取值范围.

分析:对集合B是否为空集进行分类讨论求解.

解:当B=时,只需2a>a+3,即a>3;

当B≠时,根据题意作出如图所示的数轴,

可得或解得a<-4或2

综上可得,实数a的取值范围为a<-4或a>2.

利用子集关系求参数时易疏忽端点的验证利用子集关系求参数的问题,在借助数轴分析时,要注意验证参数能否取到端点值.例如本题中在B≠时,解得a<-4或2

高一数学集合的基本运算知识点

当一个小小的心念变成成为行为时,便能成了习惯;从而形成性格,而性格就决定你一生的成败。成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。我高一频道为莘莘学子整理了《高一年级数学《集合》知识点总结》,希望对你有所帮助!

高一数学集合的基本运算知识点

一.知识归纳:

1.集合的有关概念。

1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

4)常用数集:N,Z,Q,R,N

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集:若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);

2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)

3)交集:A∩B={∈A且x∈B}

4)并集:A∪B={∈A或x∈B}

5)补集:CUA={A但x∈U}

注意:①?A,若A≠?,则?A;

②若,,则;

③若且,则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集运算的性质

①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

二.例题讲解:

【例1】已知集合M={=m+,m∈Z},N={=,n∈Z},P={=,p∈Z},则M,N,P满足关系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一:从判断元素的共性与区别入手。

解答一:对于集合M:{=,m∈Z};对于集合N:{=,n∈Z}

对于集合P:{=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P,故选B。

分析二:简单列举集合中的元素。

解答二:M={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

=∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN,

=P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。

点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

变式:设集合,,则(B)

A.M=NB.MNC.NMD.

解:

当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

【例2】定义集合AB={∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则AB的子集个数为

A)1B)2C)3D)4

分析:确定集合AB子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

解答:∵AB={∈A且xB},∴AB={1,7},有两个元素,故AB的子集共有22个。选D。

变式1:已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

A)5个B)6个C)7个D)8个

变式2:已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解:由已知,集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.

【例3】已知集合A={2+px+q=0},B={2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答:∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

∴∴

变式:已知集合A={2+bx+c=0},B={2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.

解:∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={>-2},且A∩B={x1<>

分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

解答:A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B,而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>

<><-1或x>

综合以上各式有B={x-1≤x≤5}

变式1:若A={3+2x2-8x>0},B={2+ax+b≤0},已知A∪B={>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

变式2:设M={2-2x-3=0},N={xax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

解答:M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

①当时,ax-1=0无解,∴a=0②

综①②得:所求集合为{-1,0,}

【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解,再利用参数分离求解。

解答:(1)若,在内有有解

令当时,

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式:若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

解答:

点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

三.随堂演练

选择题

1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

(A)4(B)5(C)6(D)7

2.集合{1,2,3}的真子集共有

(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个

3.集合A={x}B={}C={}又则有

(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个

4.设A、B是全集U的两个子集,且AB,则下列式子成立的是

(A)CUACUB(B)CUACUB=U

(C)ACUB=(D)CUAB=

5.已知集合A={},B={}则A=

(A)R(B){}

(C){}(D){}

6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为

{1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};(4)集合{}是有限集,正确的是

(A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)

(C)只有(2)(D)以上语句都不对

7.设S、T是两个非空集合,且ST,TS,令X=S那么S∪X=

(A)X(B)T(C)Φ(D)S

8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式,则不等式ax2+bx+c0的解集为

(A)R(B)(C){}(D){}

填空题

9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为

10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B,则x=

11.若A={x}B={x},全集U=R,则A=

12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是

13设集合A={},B={x},且AB,则实数k的取值范围是。

14.设全集U={x为小于20的非负奇数},若A(CUB)={3,7,15},(CUA)B={13,17,19},又(CUA)(CUB)=,则AB=

解答题

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3},求实数a。

16(12分)设A=,B=,

其中xR,如果AB=B,求实数a的取值范围。

四.习题答案

选择题

12345678

CCBCBCDD

填空题

9.{(x,y)}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}

解答题

15.a=-1

16.提示:A={0,-4},又AB=B,所以BA

(Ⅰ)B=时,4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1

(Ⅱ)B={0}或B={-4}时,0得a=-1

(Ⅲ)B={0,-4},解得a=1

综上所述实数a=1或a-1

高一数学集合的基本运算知识点

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人,物品,也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念,如集合论:集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor,G.F.P.,1845年—1918年,德国数学家先驱,是集合论的,目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

集合,在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念,可通过直观、公理的方法来下“定义”。

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起,使之成为一个整体(或称为单体),这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。

元素与集合的关系

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有传递性。『说明一下:如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素,则A称作是B的子集,写作A?B。若A是B的子集,且A不等于B,则A称作是B的真子集,一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号(如右图),不要混淆,考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

集合的几种运算法则

并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集:以属于A且属于B的元差集表示

素为元素的集合称为A与B的交(集),记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}全集U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}B={1,2,5}。那么因为A和B中都有1,5,所以A∩B={1,5}。再来看看,他们两个中含有1,2,3,5这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么说A∪B={1,2,3,5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。结果是3,5,7每项减集合

1再相乘。48个。对称差集:设A,B为集合,A与B的对称差集A?B定义为:A?B=(A-B)∪(B-A)例如:A={a,b,c},B={b,d},则A?B={a,c,d}对称差运算的另一种定义是:A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集:定义:集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集:令N是正整数的全体,且N_n={1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集合A与N_n一一对应,那么A叫做有限集合。差:以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作:AB={x│x∈A,x不属于B}。注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”.补集:是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不属于A}空集也被认为是有限集合。全集U={1,2,3,4,5}而A={1,2,5}那么全集有而A中没有的3,4就是CuA,是A的补集。CuA={3,4}。在信息技术当中,常常把CuA写成~A。

集合元素的性质

1.确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性:集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3.互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素。4.无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。5.纯粹性:所谓集合的纯粹性,用个例子来表示。集合A={x|x<2},集合A中所有的元素都要符合x<2,这就是集合纯粹性。6.完备性:仍用上面的例子,所有符合x<2的数都在集合A中,这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。

集合有以下性质

若A包含于B,则A∩B=A,A∪B=B

集合的表示方法

集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如:A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……}2.描述法﹕常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|0

4.自然语言常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N;不包括0的自然数集合,记作N(2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作Z+;负整数集内也排除0的集,称负整数集,记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q。Q={p/q|p∈Z,q∈N,且p,q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集,记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算:集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合

Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c},则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家,集合论创始人康托尔谈到集合一词,列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合,把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)~(BUC)=~B∩~C~(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q

高一数学集合的基本运算知识点

并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集:以属于A且属于B的元差集表示

素为元素的集合称为A与B的交(集),记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}全集U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}B={1,2,5}。那么因为A和B中都有1,5,所以A∩B={1,5}。再来看看,他们两个中含有1,2,3,5这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么说A∪B={1,2,3,5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。结果是3,5,7每项减集合

1再相乘。48个。对称差集:设A,B为集合,A与B的对称差集A?B定义为:A?B=(A-B)∪(B-A)例如:A={a,b,c},B={b,d},则A?B={a,c,d}对称差运算的另一种定义是:A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集:定义:集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集:令N是正整数的全体,且N_n={1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集合A与N_n一一对应,那么A叫做有限集合。差:以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作:A\B={x│x∈A,x不属于B}。注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”.补集:是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不属于A}空集也被认为是有限集合。全集U={1,2,3,4,5}而A={1,2,5}那么全集有而A中没有的3,4就是CuA,是A的补集。CuA={3,4}。在信息技术当中,常常把CuA写成~A。

至于学习方法的讲究,每位同学可根据自己的基础、学习习惯、智力特点选择适合自己的学习方法,这里主要根据教材的特点提出几点供大家学习时参考。

l、要重视数学概念的理解。高一数学与初中数学的区别是概念多并且较抽象,学起来“味道”同以往很不一样,解题方法通常就来自概念本身。学习概念时,仅仅知道概念在字面上的含义是不够的,还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式。为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,而y=f(x)与x=f-1(y)却有相同的图象;又如,为什么当f(x-l)=f(1-x)时,函数y=f(x)的图象关于y轴对称,而y=f(x-l)与y=f(1-x)的图象却关于直线x=1对称,不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别,两者很容易混淆。

2、‘学习立体几何要有较好的空间想象能力,而培养空间想象能力的办法有二:一是勤画图;二是自制模型协助想象,如利用四直角三棱锥的模型对照习题多看,多想。但最终要达到不依赖模型也能想象的境界。

3、学习解析几何切忌把它学成代数、只计算不画图,正确的办法是边画图边计算,要能在画图中寻求计算途径。

4、在个人钻研的基础上,邀几个程度相当的同学一起讨论,这也是一种好的学习方法,这样做常可以把问题解决得更加透彻,对大家都有益。

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高一数学集合知识点归纳有哪些

1、集合的含义是指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集,其中每一个对象叫元素。比如高一二班集合,那么所有高一二班的同学就构成了一个集合,每一个同学就称为这个集合的元素。

2、集合的表示,通常用大写字母表示集合,用小写字母表示元素。

3、集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

4、集合中的元素具有确定性,互异性和无序性。

5、集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件。

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